Скачать с ютуб Лекция 10 | Теория узлов | Теорема Дена – Ликориша для диска с дырами в хорошем качестве

Лекция 10 | Теория узлов | Теорема Дена – Ликориша для диска с дырами

22.03.2024 [part 9] — Группа классов отображений пространств в целом — Скручивание Дена как классический представитель гомеоморфизма поверхности — Примеры скручиваний Дена на торе и на диске с дырами — Интуиция манекена и резиновой поверхности для осознания концепта изотопии, тождественной на крае, и отличия её от изотопии, у которой только начальный и конечный гомеоморфизмы неподвижны на крае — Схожести и различия случаев гомеоморфизма диска с неподвижным краем, неподвижным множеством точек и множеством точек, переходящим в себя под действием данного гомеоморфизма — Группа классов отображений диска тривиальна — трюк Александера — любой гомеоморфизм диска, тождественный на крае, изотопен тривиальному, причем изотопия тождественна на крае. — Построение по данному гомеоморфизму диска послойного гомеоморфизма из заполненного цилиндра в себя с помощью изотопии из трюка Александера — Постановка задачи: доказать, что любой гомеоморфизм диска с дырами, тождественный на крае, изотопен композиции конечного числа скручиваний Дена — Первый вариант доказательства — ссылка на теорию кос • Построение по данному тождественному на крае гомеоморфизму диска с дырами утолщенной крашеной косы (утолщенность соответствует оснащению каждой нити целым числом) с помощью послойного гомеоморфизма заполненного цилиндра, пришедшего из трюка Александера • Построение по данной утолщенной крашеной косе неподвижного на крае гомеоморфизма диска с дырами с помощью железной конструкции с желобами • Факт из теории кос: данные отображения устанавливают изоморфизм группы утолщенных крашеных кос и группы классов отображений диска с дырами • Факт из теории кос: любая крашеная коса представляется в виде произведения конечного числа образующих Маркова • Установление соответствия между образующими Маркова и скручиваниями Дена определенного вида • Завершение доказательства путем указания для данного гомеоморфизма конкретной последовательности скручиваний Дена, часть из которых пришла из образующих Маркова, а часть — необходима для установления правильного оснащения — Второй вариант доказательства — в стиле хендмейд • Лемма о том, что образ (под действием гомеоморфизма) набора кривых на диске с дырами можно вернуть в исходные кривые конечным набором скручиваний Дена — доказательство леммы производится с помощью калькулуса кривых на поверхности • Разрезание диска по кривым и пересадка изотопии из трюка Александера на диск с дырами — Аналогичная теорема о порождении скручиваниями для сферы с переходящим в себя набором точек — Топологическое определение рационального тэнгла и его эквивалентность комбинаторному определению как следствие из трюка Александера для трехмерного шара и доказанной ранее теоремы о гомеоморфизмах сферы с выделенным набором точек