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MATHE ABI 2024: 6 wichtige Geometrie-Aufgabentypen für Dein Mathe Abi | Geometrie part 2

Der Höhepunkt Deiner Mathematik-Karierre steht an: MATHE ABI - ein wichtiger Tag! Um ein bisschen mit dabei zu sein, habe ich mir 24 Mathe-Abis aus verschiedenen Bundesländern und Jahrgängen ausgedruckt und mir die Geometrie-Aufgaben zu Gemüte geführt. Hilfsmittelfreie Aufgaben, Aufgaben mit Hilfsmitteln, A-Teile, B-Teile, Pflichtteile und Wahlteile aus Bayern, Baden-Württemberg, NRW, Hessen, Brandenburg... Ich habe mir folgende Frage gestellt: Gibt es in der analytischen Geometrie Aufgabentypen und Schwerpunkte, die so oder so ähnlich immer und immer wieder im Mathe Abi drankommen. Aus meiner Recherche habe ich 4 Schwerpunkte herauslesen können (1) Vektor Tools (2) Lagebeziehungen (3) Abstände sowie (4) Konstruktionsprobleme. Dieses Video nimmt sich der klassischen Lagebeziehungen an. 6 Fälle unterscheide ich und zeige Dir anhand von Beispielen, wie genau Du vorgehen muss, wenn Du die Lagebeziehung zwischen verschiedenen geometrischen Objekten untersuchen möchtest. ---------INHALT---------------------------------------------------- 0:00 - 1:12 Begrüßung 1:12 - 1:21 Typ 1: Punkt-Punkt 1:21 - 4:20 Typ 2: Punkt-Gerade 4:20 - 6:57 Typ 3: Punkt-Ebene 6:57 - 9:18 Typ 4: Gerade-Gerade 9:18 - 13:58 Typ 5: Gerade-Ebene 13:58 - 10:13 Typ 6: Ebene-Ebene 10:13 - 17:39 tippitoppi TopTipp und Verabschiedung ---------ZUSAMMENFASSUNG----------------------------- 1. Punkt-Punkt Für die Lagebeziehung von 2 Punkten gibt es nur zwei triviale Möglichkeiten: Die Punkte sind identisch (dann sind auch alle 3 Koordinaten identisch) oder die beiden Punkte sind nicht identisch (dann sind die Koordinaten nicht identisch). 2. Punkt-Gerade Um die Lagebeziehung von Punkt und Gerade zu untersuchen, führen wir eine klassische Punkt probe durch. Wir setzen dafür den Ortsvektor des Punktes für Vektor x in die Geradengleichung ein. Es entstehen drei kleine lineare Gleichungen. Wenn für jede Gleichung ein identischer Parameterwert entsteht, dann ist die Punktprobe positiv und der Punkt liegt auf der Gerade. Wenn nicht, dann nicht. 3. Punkt-Ebene Um die Lagebeziehung von Punkt und Ebene (in der Koordinatenform) zu untersuchen führen wir ebenfalls eine Punktprobe durch. Wir setzen die Punktkoordinaten für x, y und z in die Ebenengleichung ein und prüfen, ob eine wahre Aussage entsteht. Wenn dem so ist, dann ist der Punkt Element der Ebene. Entsteht eine falsche Aussage, liegt der Punkt nicht in der Ebene. 4. Gerade-Gerade Die Untersuchung der Lagebeziehung von zwei Geraden beginnt mit der Kollinearitätsuntersuchung der Richtungsvektoren. Sind die Richtungsvektoren kollinear, führen wir im nächsten Step eine Punktprobe durch. Je nach Ausgang sind die beiden Gerade dann entweder identisch oder echt parallel. Verläuft die Kollinearitätsuntersuchung negativ, bilden wir aus den beiden Geradengleichungen ein lineares Gleichungssystem. Ist dieses lösbar, schneiden sich die Geraden. Ist es nicht lösbar, dann sind die beiden Gerade windschief. Insgesamt können die beiden Gerade also 4 verschiedene Beziehungen aufweisen (1) Identität (2) echte Parallelität (3) Windschiefe oder (4) Schnitt. 5. Gerade-Ebene Gegeben sind die Gleichung einer Gerade g und die Gleichung einer Ebene E in der Koordinatenform. Um die Lagebeziehung dieser beiden Objekte zu untersuchen, setzt Du die Geradengelichung zunächst komponentenweise in die Ebenengleichung ein. Wenn Du für den Parameter einen Wert bekommst, setzt Du diesen wieder in g ein und erhältst den entsprechenden Durchstoßpunkt. Entsteht eine wahre Aussage, dann ist die Gerade Teilmenge der Ebene E. Entsteht eine falsche Aussage, dann ist g parallel zu E. 6. Ebene-Ebene Zwei Ebenen, E und F, sind in der Koordinatenform gegeben. In Step 1 eliminierst Du eine Variable (wie bei einem linearen Gleichungssystem) und führst dann einen Parameter ein. Du erhältst dann für x, y und z jeweils Lösungen, die Du zu einer Geradengleichung zusammensetzen kannst. Es entsteht die Gleichung der Schnittgerade von E und F. Entsteht in Step 1 eine wahre Aussage, dann sind die beiden Ebenen identisch. Bei einer falschen Aussage, sind E und F parallel.