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#DELTA

#déterminer l'expression algébrique d'une #fonctionaffine 1) graphiquement 2) Par le calcul Une fonction affine f est une fonction dont la forme algébrique s’écrit f(x) = ax+b et qui est donc déterminée par les deux nombres a et b. Le nombre a est le coefficient directeur et le nombre b est l’ordonnée à l’origine. Ce vocabulaire est lié à la représentation graphique d’une fonction affine qui est une droite. Ce que nous allons expliquer dans cet article, c’est comment déterminer graphiquement les deux nombres a et b qui interviennent dans l’expression algébrique. Un 1er exemple Pour que vous puissiez suivre plus facilement les explications, prenons la représentation graphique d’une première fonction f : Comme cette représentation graphique est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées, la fonction f est affine donc de la forme f(x) = ax+b d’après la définition des fonctions affines. Prenons x=0, on a donc f(0) = a×0+b = 0+b = b donc la droite qui représente f passe par le point de coordonnées (0;b). Sur le graphique ci-dessus, on peut donc lire la valeur de b (l’ordonnée à l’origine) en prenant l’intersection de la droite qui représente graphiquement f et de l’axe des ordonnées : c’est pour cette raison que b se nomme l’ordonnée à l’origine. Dans cet exemple, on peut lire graphiquement que b=−1. Prenons x=1, ce qui nous donne f(1) = a×1+b = a+b Calculons la différence entre f(1) et f(0) : f(1)−f(0) = (a+b)−b = a+b−b = a Ainsi, la différence entre l’image de 1 par f et celle de 0 par f est le nombre a. Sur le graphique , cette différence se lit sur l’axe des ordonnées et donne la valeur du coefficient directeur a : c’est la distance entre l’image de 1 et celle de 0 ; elle est positive si f(1) est au-dessus de f(0) et négative dans le cas contraire. Pour cet exemple, nous avons donc, graphiquement, a = 3. En conclusion, la fonction f est telle que f(x) = 3x−1. Un 2ème exemple La lecture graphique de la différence f(1)−f(0) comme dans l’exemple ci-dessus n’est pas toujours aussi aisée. Prenons la représentation graphique d’un 2ème fonction affine g pour le comprendre et voir comment on contourne cette difficulté. Sur ce graphique, on a encore b = -1 (l’ordonnée à l’origine}) mais la différence f(1)−f(0) n’est pas lisible avec précision : Considérons alors le chemin suivant pour aller de A à B : Nous voyons que pour passer du point A au point B, on avance horizontalement de 3 unités puis on monte de 5 unités. Ce qui donne un triangle rectangle avec le segment de droite [AB]. Or, nous voulions plutôt avancer horizontalement de 1 unité pour monter de aunités comme dans le 1er exemple. Comparons ces 2 triangles, le triangle rouge et le triangle noir : Le théorème de Thalès nous assure qu’ils ont des côtés proportionnels : a1 = 53 donc a = 53 Vérifions en calculant les images de 0 et de 3 par g : g(0) = 53×0−1 = 0−1 = −1 g(3) = 53×3−1 = 5−1 = 4 On retrouve les coordonnées des points A(0;−1) et B(3;4). En conclusion, la fonction g est telle que g(x) = 53x−1. Un 3ème exemple Prenons un 3ème exemple avec une fonction h dont la représentation graphique est la droite passant par les points A(−1;5) et B(2;−1). La représentation graphique de h étant une droite non parallèle à l’axe des ordonnées, h est donc une fonction affine et donc de la forme h(x) = ax+b. Graphiquement, on lit que b = +3 (l’ordonnée à l’origine) : Puis, pour passer du point A au point B, on avance horizontalement de +3 et on descend verticalement de −6 (voir les flèches sur le graphique) donc a = −6+3 = −2 Vérifions cela : h(−1) = −2×−1+3 = 2+3 = 5 h(2) = −2×2+3 = −4+3 = −1 On retrouve bien les coordonnées des points A et B. En conclusion, la fonction h est telle que g(x) = −2x+3. Une formule générale En fait, on a une méthode générale pour déterminer le coefficient directeur d’une fonction affine : c’est le quotient de la différence des ordonnées par la différence des abscisses correspondantes. Théorème Si f est une fonction affine alors, pour tous les nombres x1 et x2 distincts, a = f(x1)−f(x2)x1−x2 Preuve Soit une fonction f affine et prenons 2 nombres différents x1 et x2. f étant affine, son expression algébrique est de la forme f(x) = ax+b d’après la définition des fonctions affines. Avec les nombres x1 et x2, on a : f(x1) = ax1+b et f(x2) = ax2+b Calculons la différence f(x1)−f(x2) : f(x1)−f(x2) = (ax1+b)−(ax2+b) = ax1+b−ax2−b = ax1−ax2 = a×(x1−x2) On a donc f(x1)−f(x2) = a×(x1−x2) Or x1−x2≠0 puisque x1 et x2 sont distincts, on peut donc diviser cette égalité par x1−x2 : a = f(x1)−f(x2)x1−x2 CQFD Utilisation Prenons le 3ème exemple ci-dessus : la représentation graphique de la fonction affine h passe par les points A(−1;5) et B(2;−1) donc h(−1) = 5 et h(2) = −1.