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Ito's Lemma -- Einige intuitive Erläuterungen zur Lösung stochastischer Differenzialgleichungen

English (and slightly improved) version:    • Ito's Lemma -- Some intuitive explana...   Prof. Hakenes teaches Finance and Mathematics at https://www.econ.uni-bonn.de Unser Startpunkt ist die Simulation eines Wiener-Prozesses (W) in Excel. Diesen nutzen wir nun, um einen typischen "Aktienkurs" (S) zu simulieren. Die Inkremente sind jetzt proportional zum aktuellen Kurs, und zur #Volatilität (σ). Es stellt sich die Frage: kann man S auch direkt aus W berechnen, ohne über die Inkremente zu gehen? Das entspricht der Lösung einer Differentialgleichung. Der erste Ansatz, S = exp(σW), klingt naheliegend, unterschätzt aber den Einfluss der Stochastik, also der Volatilität. Ito's Lemma ist das Pendant zur Kettenregel in der nicht-stochastischen #Differentialrechnung. Die Formel enthält zusätzlich zu den bekannten Elementen eine weitere zweite Ableitung. Mit diesem Lemma wird der erste Ansatz korrigiert auf S = exp(σW-tσ^2/2), der korrekten Lösung. Intuition: Durch die Volatilität kommt es zu einem andauernden Auf und Ab, das wiederum Zinseszinseffekte verursacht, die zusätzlich berücksichtigt werden müssen. Genau das macht #Ito's Lemma.