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수학의 기초론 (feat. 논리주의, 직관주의, 형식주의, 프레게, 러셀, 브라우어, 힐베르트, 괴델)

플라톤은 세계를 둘로 쪼겠습니다. 이데아의 세계와 현실의 세계. 이데아의 세계는 이성의 눈으로만 보이는 가지계이고 현실의 세계는 감각의 눈으로 보이는 가시계입니다. 그리고 이데아의 세계가 진짜 세계이고 현실의 세계가 가짜라는 겁니다. 그렇다면 이데아의 세계는 어떤 세계일까요? 그것은 관념의 세계입니다. 감각의 눈으로는 보이지 않지만 이성의 눈으로 보이는 것은 관념이죠. 그래서 플라톤은 이러한 관념이야 말로 진짜로 존재한다고 말합니다. 이러한 관념이야 말로 실재한다는 겁니다. 그래서 플라톤의 이러한 입장을 관념 실재론이라고 합니다. 자. 그런데 이러한 관념들의 결정체가 바로 수학이죠. 그래서 플라톤의 아카데미의 입구에 “기하학을 모르는 자 여기에 들어오지 말라”라고 써 있었던 겁니다. 따라서 플라톤의 입장을 받아들이면 1, 2, 3과 같은 자연수는 물론 루트2와 같은 무리수, 3i와 같은 허수, 함수, 복소수, 집합. 이런 것들로 실재로 존재하는 것으로 보아야 합니다. 따라서 피타고라스 정리나 오일러 등식과 같은 수학적 공식 또한“미국의 대통령은 바이든이다”와 같이 객관적인 사실이라는 겁니다. 이러한 입장을 수학에서의 플라톤주의라고 합니다. 그런데 흔히 이런 농담이 있습니다. “수학자들은 평일에는 플라톤주의자이지만 주말에는 반플라톤주의자이다.” 이 말은 수학자들이 주중에 수학 문제의 해법을 찾을 때에는 그 해법이 실제로 존재하는 것이라고 생각하지만, 막상 주말에 쉬면서 한발 떨어져서 보면 자신이 실제로 존재하는 해법을 찾고 있는 건지 아니면 그냥 숫자 놀음을 하고 있는 건지 잘 헷갈린다는 겁니다. 이런 의심을 하는 순간 수학자는 철학자가 됩니다.“수학이란 무엇인가?” “수학적으로 참이라는 것은 무슨 의미인가?” “수학적 명제가 참이라는 근거는 무엇인가?” 이러한 질문들을 다루는 철학의 분야를 수리 철학이라고 합니다. 20세기 초 이러한 질문에 대답하기 위해서 나타난 세 학파가 있습니다. 그것이 바로 프레게와 러셀의 논리주의, 푸앙카레와 브로우어의 직관주의, 힐베르트의 형식주의입니다. 오늘은 이들 학파가 나타나게 된 배경과 이들이 어떻게 서로의 이론을 반박하면서 발전해 나갔는지 그리고 어떤 한계에 봉착했는지에 대해서 이야기를 하겠습니다.